Question

如图，点P是双曲线（x＞0）上一点，以点P为圆心，2为半径的圆与直线y=x的交点为A、B．
（1）当⊙P与x轴和y轴都相切时，求点P的坐标及双曲线的函数表达式；
（2）若点P在双曲线（x＞0）上运动，当弦AB的长等于时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据已知得出点P到x轴和y轴的距离都是2，进而利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）根据当点P在直线l上方时，以及点P在直线l下方时，分别得出P点坐标即可．
解答：解：（1）∵⊙P与x轴和y轴都相切，半径为2，
∴点P到x轴和y轴的距离都是2，
∴点P（2，2），
∴2=，
∴k=4，
∴双曲线的函数表达式为：y=．

（2）设点P（m，n），
当点P在直线l上方时，
如图1，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PB，
∴C是AB中点，
∴BC=，
∴PC===1，
∵点E在直线y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=PC=，
∴n=PD=DE+PE=m+，
∵点P在双曲线y=上，
∴mn=4，
∴m（m+）=4，
解得：m₁=，m₂=-2，
∵点P在第一象限，
∴m=，
∴n=2，
∴点P（，2），
设点P（m，n），
点P在直线l下方时，
如图2，作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D，PD与AB交于点E，连结PA，
∴C是AB中点，
∴AC=，
∴PC===1，
∵点E在直线y=x上，
∴OD=ED=m，
∴∠OED=45°，
∴∠PEC=45°，
∴PE=PC=，
∴n=PD=DE-PE=m-，
∵点P在双曲线y=上，
∴mn=4，
∴m（m-）=4，
解得：m₁=-，m₂=2，
∵点P在第一象限，
∴m=2，
∴n=，
∴点P（2，），
∴综上所述，点P的坐标为（，2）或（2，）．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及相切的性质和反比例函数的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．