Question

13．如图，已知C在以AB为直径的半圆⊙O上一点，I是△ABC的内心，AI、BI的延长线分别与半圆⊙O交于点D、E，AB=6．则DE的长为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接两个半径OE和OD，根据内角可知：AI、BI是△ABC的内角平分线，即圆周角相等，则所对的弧相等；因为$\widehat{ACB}$是一个半圆，即$\widehat{AE}$、$\widehat{EC}$、$\widehat{CD}$、$\widehat{BD}$组成一个半圆，所以∠EOD=90°，△EOD是等腰直角三角形，因此可以利用勾股定理求DE的长．

解答 解：连接OE、OD，
∵I是△ABC的内心，
∴AI、BI分别平分∠CAB、∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD，∠ABE=∠CBE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{EC}$，$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∵$\widehat{ACB}$是一个半圆，
∴∠EOD=180°×$\frac{1}{2}$=90°，
∵直径AB=6，
∴OE=OD=3，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆的圆心的性质，内心与三角形各顶点的连线分别是各角的平分线；同时，做好本题还要掌握圆有关的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，反之也成立，即圆周角相等则所对的弧相等．