Question

【题目】如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=900, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B.C在A.E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E

(1)试说明: BD=DE+CE.

(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时, 其余条件不变, 问BD与DE.CE的数量关系如何?请直接写出结果, 不需说明

(3)如图(3)若将图（2）中的AB=AC改为∠ABD=∠ABC其余条件不变, 问AD与AE的数量关系如何? 并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）BD=DE+CE；（2）BD=DE-CE；（3）AD=AE.

【解析】

（1）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE得出BD=AE，AD=CE，根据等量代换即可得出.
（2）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，由AD+AE=BD+CE，得出BD，DE，CE之间的关系.

（3）作AF⊥BC于点F，先根据“AAS”证明△BAD≌△BAF，再根据“AAS”证明△CAE≌△CAF，即可得到AD与AE的数量关系.

解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∵AE=AD+DE，

∴BD=DE+CE；

（2）结论：BD=DE-CE；

∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE，

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

∵，

∴△ABD≌△CAE（AAS），

∴BD=AE，AD=CE，

∴AD+AE=BD+CE，

∵DE=BD+CE，

∴BD=DE-CE．

（3）作AF⊥BC于点F，

在△BAD和△BAF中，

∵∠ABD=∠ABC，

∠D=∠AFB，

AB=AB，

∴△BAD≌△BAF，

∴AD=AF，∠BAD=∠BAF.

∵∠CAE+∠BAD=90°, ∠CAF+∠BAF=90°,

∴∠CAE=∠CAF.

在△CAE和△CAF中，

∵∠CAE=∠CAF，

∠E=∠AFC，

AC=AC，

∴△CAE≌△CAF，

∴AE=AF，

∴AD=AE.