Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过原点O和B（﹣4，4），且对称轴为直线x=．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接OD，BD，在点D运动过程中，当△OBD面积最大时，求点D的坐标和△OBD的最大面积；

（3）如图2，若点P为平面内一点，点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，直接写出满足△POD∽△NOB的点P坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+3x，（2）当m=﹣2时，S△BOD有最大值，最大值为8，此时D点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）P点坐标为（，﹣）或（﹣，）．

【解析】

根据条件运用待定系数法就可求出抛物线的解析式．

过D点作DC∥y轴交OB于C，再设点D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），则C（m，﹣m），再利用三角形面积公式计算化简S△BOD=﹣2（m+2）2+8即可求出结果.

作BK⊥y轴于K，BI⊥x轴于I，BN交y轴于M点，易得四边形BIOK为正方形，再利用全等三角判定定理得出Rt△BIA≌Rt△BKM，列出方程组和利用（2）的条件进行讨论即可求解.

解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=．

∴A（﹣3，0），

设抛物线解析式为y=ax（x+3），

把B（﹣4，4）代入得a（﹣4）（﹣4+3）=4，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x（x+3），即y=x2+3x，

（2）过D点作DC∥y轴交OB于C，如图1，

直线OB的解析式为y=﹣x，

设D（m，m2+3m）（﹣4＜m＜0），则C（m，﹣m），

∴DC=﹣m﹣（m2+3m）=﹣m2﹣4m，

∴S△BOD=S△BCD+S△OCD=4DC=﹣2m2﹣8m=﹣2（m+2）2+8，

当m=﹣2时，S△BOD有最大值，最大值为8，此时D点坐标为（﹣2，﹣2）；

（3）作BK⊥y轴于K，BI⊥x轴于I，BN交y轴于M点，如图2，

易得四边形BIOK为正方形，

∵∠NBO=∠ABO，

∴∠IBA=∠KBM，

而BI=KM，

∴Rt△BIA≌Rt△BKM，

∴KM=AI=1，

∴M（0，3），

设直线BN的解析式为y=px+q，

把B（﹣4，4），M（0，3）代入得，解得，

∴直线BN的解析式为y=﹣x+3，

解方程组得或，

∴N（，），

∵OB=4，OD=2，

∴=，

∴△POD与△NOB的相似比为1：2，

过OB的中点E作EF∥BN交ON于F，如图2，

∴△FOE∽△NOB，它们的相似比为1：2，

∴F点为ON的中点，

∴F（，），

∵点E与点D关于x轴对称，

∴点P′与点F关于x轴对称时，△P′OD≌△FOE，则△P′OD∽△NOB，此时P′（，﹣）；

作P′点关于OD的对称点P″，则△P″OD≌△P′OD，则△P″OD∽△NOB，此时P″（﹣，），

综上所述，满足条件的P点坐标为（，﹣）或（﹣，）．