Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O直径，E是CB延长线上一点，且∠BAE=∠C.

【小题1】求证：直线AE是⊙O的切线
【小题2】若EB=AB，，AE=24，求EB的长及⊙O的半径.

Answer 1

【小题1】证明：连结BD.   

∵ AD是⊙O的直径，
∴∠ABD =90°.
∴∠1+∠D =90°.
∵∠C=∠D，∠C=∠BAE，
∴∠D=∠BAE.   
∴∠1+∠BAE=90°.
即∠DAE=90°.
∵AD是⊙O的直径，
∴直线AE是⊙O的切线. 
【小题2】解: 过点B作BF⊥AE于点F, 则∠BFE=90°.
∵ EB="AB,"
∴∠E="∠BAE," EF=AE=×24=12. 
∵∠BFE=90°, ,
∴=15.  
∴ AB=15.          
由（1）∠D=∠BAE，又∠E=∠BAE, 
∴∠D=∠E.
∵∠ABD=90°,
∴  .     
设BD=4k，则AD＝5k.
在Rt △ABD中, 由勾股定理得AB＝="3k,"
可求得k=5.     
∴
∴⊙O的半径为.  解析:
（1）证得∠DAE=90°即可说明直线AE是⊙O的切线.；
（2）过点B作BF⊥AE构建直角三角形，利用三角函数和勾股定理进行计算。