Question

【题目】如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．

（1）求证：BF＝EF；

（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OA，可得∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，再根据OA＝OC，即可解答

（2）连接AB，可得∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，根据三角函数求出PB＝，

再证明△APB∽△CPA，即可解答

（1）证明：连接OA，

∵AF、BF为半⊙O的切线，

∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，

∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠C＝∠OAC，

∴∠E＝∠EAF，

∴AF＝EF，

∴BF＝EF；

（2）解：连接AB，

∵AF、BF为半⊙O的切线，

∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，

又∵tan∠P＝ ，即 ，

∴PB＝ ，

∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，

∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，

∴△APB∽△CPA，

∴ ，即PA2＝PBPC，

∴ ，解得PA＝ ．