Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点．将△ABC折叠，使A点与点D重合．若EF为折痕，则sin∠BED的值为

 

，

DE

DF

的值为

 

．

Answer 1

分析：先设Rt△ABC的直角边AC=a，根据△ABC是等腰直角三角形可知∠A=∠B=45°，再根据图形折叠的性质可知∠A=∠EDF=45°，由三角形外角的性质可知∠1+∠EDF=∠B+∠2，可求出∠1=∠2，在直角三角形CDF中设CF=x，利用勾股定理即可求解；
过D作DG⊥AB，在Rt△BDG中利用勾股定理可求出DG的长，再用相似三角形的判定定理可求出△EDG∽△DFC，由相似三角形的对应边成比例即可求解．

解答：解：设Rt△ABC的直角边AC=a，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△DEF是△AEF沿EF折叠而成，
∴∠A=∠FDE=∠B=45°，
∵∠2+∠B=∠1+∠FDE，∠FDE=∠B=45°
∴∠1=∠2，
∵D是BC的中点，
∴CD=

a

2

，设CF=x，则AF=DF=a-x，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，DF²=CF²+CD²，即（a-x）²=x²+（

a

2

）²，
解得x=

3a

8

，
∴DF=a-x=a-

3a

8

=

5a

8

，
∴sin∠1=

CF

DF

=

3a 8

5a 8

=

3

5

，
∴sin∠2=

3

5

，即sin∠BED的值为

3

5

；
过D作DG⊥AB，
∵BD=

a

2

，∠B=45°，
∴DG=BD•sin∠B=

a

2

×

2

2

=

2 a

4

，
∵∠2=∠1，∠C=∠DGE，
∴△EDG∽△DFC，
∴

DE

DF

=

DG

CF

=

2 a 4

3a 8

=

2 2

3

．
故答案为：

3

5

，

2 2

3

．

点评：本题考查的是图形翻折变换的性质、锐角三角函数的定义、全等三角形的判定与性质及勾股定理，涉及面较广，难度适中．