Question

4．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF，则下列结论：
①DE=DF；②AD平分∠BAC；③AE=AD；④AC-AB=2BE中
正确的是①②④．

Answer 1

分析 利用“HL”证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据图形表示出表示出AE、AF，再整理即可得到AC-AB=2BE．

解答 解：在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AD}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴AB+BE=AC-FC，
∴AC-AB=BE+FC=2BE，
即AC-AB=2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．