Question

如图（1），抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，0）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；

②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

 

 

Answer 1

（1）；

（2）①（，）；②存在，（4，3）或（）或（）.

【解析】

试题分析：（1）把A的坐标代入抛物线的解析式，即可得到关于c的方程，求的c的值，则抛物线的解析式即可求解.

（2）①连接MC、MD，证明△COM∽△MED，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.

②分四种情况进行讨论，根据平行四边形的性质即可求解．

试题解析：【解析】
（1）∵点A（﹣2，0）在抛物线上，

∴，解得c=3.

∴抛物线的解析式是：.

（2）①令D（x，y）,（x＞0，y＞0），则E（x，0），M（，0），

由（1）知C（0，3），

如答图1，连接MC、MD

∵DE、CD与⊙O相切，∴∠CMD=90°.

∴△COM∽△MED. ∴，即.

又∵，∴，解得x=.

又∵x＞0，∴x=，∴.

∴D点的坐标是：（，）.

②假设存在满足条件的点G（a，b）.

若构成的四边形是□ACGF，（答图2）则G与C关于直线x=2对称，

∴G点的坐标是：（4，3）.

若构成的四边形是□ACFG，（答图3，4）则由平行四边形的性质有b=，

又∵，解得a=，此时G点的坐标是：（）.

若构成的四边形是□AGCF，（答图5）则CGFA，

∴G点的坐标是：（4，3）.

显而易见，AFCG不能构成平行四边形.

综上所述，在抛物线上存在点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为（4，3）或（）或（）.

考点：1.单动点问题；2.二次函数综合题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.直线与圆相切的性质；5.相似三角形的判定和性质；6. 平行四边形的性质；7.分类思想的应用．