Question

如图，C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边作等边△ACD．等边△BCE，连接AE、BD分别交CD、CE于M、N两．

（1）求证：AE=BD；

（2）判断直线MN与AB的位置关系；

（3）若AB=10，当点C在AB上运动时，是否存在一个位置使MN的长最大？若存在

请求出此时AC的长以及MN的长．若不存在请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ACD和△BCE均为等边三角形

∴DC=AC，EC=BC   且∠DCB=∠ACE=120° 

∴△DCB≌△ACE      ∴AE=BD                

（2）MN//AB，理由如下：

由（1）可知△DCB≌△ACE

∴∠NBC=∠MEC   又∵CB=CE，∠NCB=∠MCE=60° 

∴△NCB≌△MCE    ∴CN=CM

又∵∠MCE=60°     ∴△CMN是等边三角形

故有∠NMC=∠ACD=60°      ∴MN//AB                       

（3）设AC=x，MN=y，∵MN//AB  ∴                  

又∵CB=EC=10-x，CN=y，EN=10-x-y

  即

配方得

当x=5cm时线段MN有最大值2.5cm．