Question

如图，D是线段AB上的一点，BD=2AD=4，以BD为直径作半圆O，过点A作半圆O的切线，切点为E，过点B作BC⊥AE于C交半圆于F，连接EF．有下列四个结论：
①∠A=30°；②BF=3CF；③

DE

=

EF

；④EF∥AB．
其中正确的结论是

①③④

．

Answer 1

分析：①由切线的性质和解直角三角形得到∠A=30°；
②如图，连接DF．根据圆周角定理和平行线的判定推知AC∥DF，则平行线分线段成比例，即

BF

BC

=

BD

BA

，由此可以求得BF=2CF；
③由平行线的性质得到DF⊥OE，则根据垂径定理和圆周角、弧、弦的关系进行解答；
④由圆周角、弧、弦的关系和旋切角定理求得内错角∠CEF=∠EFD，则EF∥AB．

解答：解：①如图，连接OE．
∵AE是切线，
∴AE⊥OE，即∠AEO=90°．
∵BD=2AD=4，
∴OE=OD=2，
∴AO=AD+OD=2OE，
∴∠A=30°；
故①正确；

②如图，连接DF．
∵BD是直径，∴DF⊥EF．
又∵AC⊥BC，
∴AC∥DF，
∴

BF

BC

=

BD

BA

，由比例的性质得到

BF

CF

=

BD

DA

=2，即BF=2CF．故②错误；

③如图，假设DF交OE于点G．
∵AC∥DF，AE⊥OE，
∴DF⊥OE，
∴DG=FG，
∴

DE

=

EF

．
故③正确；

④如图，连接DE．
∵

DE

=

EF

．
∴∠EDF=∠EFD．
又∵AC是切线，
∴∠CEF=∠EDF，
∴∠CEF=∠EFD，
∴EF∥AB．
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故答案是：①③④．

点评：本题综合考查了切线的性质，圆周角定理以及垂径定理等知识点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．