Question

如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。
（1）求证：BF=EF；
（2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为3，求BD和FG的长度。

Answer 1

解：（1）∵BC是⊙O的直径，BE是⊙O的切线， ∴ 又∵， 易证， ， ∵G是AD的中点， ； （2）连结AO，AB， ∵BC是⊙O的直径， 在中，由（1），知F是斜边BE的中点， 又， ∵BE是⊙O的切线， ， ∴PA是⊙O的切线； （3）过点F作于点H， 由（1），知， 由已知，有， ，即是等腰三角形， ， ，即， ∴四边形BDHF是矩形，BD=HF， ，易证， 即 ∵⊙O的半径长为， 解得， 在中， ， 由勾股定理，得 解得（负值舍去） ［或取CG的中点H，连结DH，则，易证，，故，由，易知，，由，解得， 又在中，由勾股定理，得，（舍去负值）]