在梯形ABCD中.AB∥CD.AB=8cm.CD=2cm.AD=BC=6cm.M.N为同时从A点出发的两个动点.点M沿A?D?C?B的方向运动.速度为2cm/秒,点N沿A?B的方向运动.速度为1cm/秒．当M.N其中一点到达B点时.点M.N运动停止．设点M.N的运动时间为x秒.以点A.M.N为顶点的三角形的面积为ycm2．(1)试求出当0＜x＜3时.y与x之间的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，CD=2cm，AD=BC=6cm，M、N为同时从A点出发的两个动点，点M沿A?D?C?B的方向运动，速度为2cm/秒；点N沿A?B的方向运动，速度为1cm/秒．当M、N其中一点到达B点时，点M、N运动停止．设点M、N的运动时间为x秒，以点A、M、N为顶点的三角形的面积为ycm²．
（1）试求出当0＜x＜3时，y与x之间的函数关系式；
（2）试求出当4＜x＜7时，y与x之间的函数关系式；
（3）当3＜x＜4时，以A、M、N为顶点的三角形与以B、M、N为顶点的三角形是否有可能相似？若相似，试求出x的值；若不相似，试说明理由．

【答案】分析：（1）由题意可证∠A=60?，进而由三角函数可求△AMN的面积即y=

x²．
（2）过点M作MG⊥AB，垂足为G．可证△MGB∽△CFB，即求GM=

（7-x），所以△AMN的面积即y=

x²．
（3）当3＜x＜4时，以A，M，N为顶点的三角形与以B，M，N为顶点的三角形不可能相似．
当x=3时，动点M与点D重合时，动点N恰好与点E重合，此时∠MNA=90?．
当3＜x＜4时，∠MNA必为钝角．则∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN与△BMN不可能相似．
解答：

解：（1）如图①，过D作DE⊥AB，垂足为E；过C作CF⊥AB，垂足为F．
∴CD=EF=2．
∵AD=BC，DE=CF，
∴Rt△ADE≌Rt△BCF．
∴AE=BF=3．（1分）
在Rt△ADE中，AD=6，AE=3，
∴∠ADE=30?，∠A=60?
∴在△AMN中，AN=x，高为2x•sin60°=

x．
∴y=

•x•

x．即y=

x²．

（2）如图②，过点M作MG⊥AB，垂足为G．
∵MG∥CF，
∴△MGB∽△CFB．
∴GM：CF=BM：BC．
∵CF=DE=

，
∴GM：3

=（6+2+6-2x）：6．
∴GM=

（7-x）．
∴y=

（7-x）．
即y=

x²．

（3）当3＜x＜4时，以A，M，N为顶点的三角形与以B，M，N为顶点的三角形不可能相似．
当x=3时，动点M与点D重合时，动点N恰好与点E重合，此时∠MNA=90?．
当3＜x＜4时，∠MNA必为钝角．则∠MNA≠∠MNB，而∠MNA=∠NMB+∠MBN，因此，△AMN与△BMN不可能相似．
点评：本题结合梯形的性质考查二次函数的综合应用，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差“关系求解．本题还考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用．