Question

如图，△ABC中，∠A=96°，作BC的延长线CD，∠ABC与∠ACD的平分线相交于A₁点，∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于A₂点，依此类推，∠A₃BC与∠A₃CD的平分线相交于A₄点，则∠A₄的度数是________．

Answer 1

6°
分析：由角平分线的定义得到∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，根据三角形外角的性质得到∠ACD=∠A+∠ABC，即∠2=∠1+∠A，再根据三角形的内角和定理得到∠A+∠1=∠A₁+∠2，则有∠A₁=∠A，同理可得∠A₂=∠A₁，∠A₃=∠A₂，∠A₄=∠A₃，即可计算出∠A₄．
解答：解：如图，
∵A₁B平分∠ABC，
∴∠1=∠ABC，
又∵CA₁平分∠ACD，
∴∠2=∠ACD，
而∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠2=∠1+∠A，
又∵∠A+∠1=∠A₁+∠2，
∴∠A+∠1=∠1+∠A+∠A₁，
∴∠A₁=∠A，
同理可得∠A₂=∠A₁，∠A₃=∠A₂，∠A₄=∠A₃，
∴∠A₄=∠A=×96°=6°．
故答案为6°．
点评：本题考查了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和．也考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理．