Question

二次函数的图象如图所示，过y轴上一点M（0，2）的直线与抛物线交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D。

（1）当点A的横坐标为-2时，求点B的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过点A，B作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在EF上是否存在点P，使∠APB为直角？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC·BD的值。

Answer 1

解：（1）根据题意，设点B的坐标为，其中 ∵点A的横坐标为-2 ∴ ∵y轴，轴， ∴ ∴ ∴ 即 解得（舍去）， ∴。
（2）存在 连结AP，BP 由（1）， 设，则 ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴ 解得 经检验均为原方程的解 ∴P的坐标为或。
（3）根据题意，设， 不妨设， 由（1）知， 则或 化简，得 ∴ ∴ ∴。