Question

【题目】乘法公式的探究及应用.

数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形.

（1）请用两种不同的方法求图大正方形的面积.

方法1：__________________________；

方法2：__________________________.

（2）观察图，请你写出下列三个代数式:，，之间的等量关系_____________________.

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：，，求的值；

②已知，求的值.

Answer 1

【答案】（1）(a+b)2；a2+b2+2ab；（2）(a+b)2=a2+2ab+b2；（3）①ab=11；②(x-2019)2=16

【解析】

（1）方法1：图2是边长为a+b的正方形，利用正方形的面积公式可得出S正方形=(a+b)2；方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，根据正方形及长方形的面积公式可得出S正方形=a2+2ab+b2；

（2）由图2中的图形面积不变，可得出(a+b)2=a2+2ab+b2；

（3）①由a+b=6可得出(a+b)2=36，即a2+b2+2ab=36，将a2+b2=14代入即可求出ab的值；

②设x-2018=a+1，则x-2019=a，x-2020=a-1，再根据完全平方公式求解即可．

解：（1）方法1：图2是边长为a+b的正方形，

∴S正方形=(a+b)2；

方法2：图2可看成1个边长为a的正方形、1个边长为b的正方形以及2个长为b宽为a的长方形的组合体，

∴S正方形=a2+b2+2ab．

（2）由图2中的图形面积不变，可得出(a+b)2=a2+2ab+b2；

（3）①∵a+b=6，

∴(a+b)2=36，即a2+b2+2ab=36，

又∵a2+b2=14，

∴14+2ab=36，

∴ab=11；

②设x-2019=a，则x-2018=a+1，x-2020=a-1，

∵(x-2018)2+(x-2020)2=34，

∴(a+1)2+(a-1)2=34，

∴a2+2a+1+a2-2a+1=20，

∴2a2+2=34，

∴2a2=32，

∴a2=16，

即(x-2019)2=16．