Question

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，动点E（与点A，C不重合）在AC边上，EF∥AB交BC于F点．
（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．

Answer 1

分析：（1）因为EF∥AB，所以容易想到用相似三角形的面积比等于相似比的平方解题；
（2）根据周长相等，建立等量关系，列方程解答；
（3）先画出图形，根据图形猜想P点可能的位置，再找到相似三角形，依据相似三角形的性质解答．

解答：解：（1）∵△ECF的面积与四边形EABF的面积相等
∴S_△ECF：S_△ACB=1：2    
又∵EF∥AB∴△ECF∽△ACB 

S△ECF

S△ACB

=(

CE

CA

)2=

1

2

∵AC=4，
∴CE=2

2

；

（2）设CE的长为x
∵△ECF∽△ACB
∴

CE

CA

=

CF

CB

∴CF=

3

4

x
由△ECF的周长与四边形EABF的周长相等，
得x+EF+

3

4

x=（4-x）+5+（3-

3

4

x）+EF
解得x=

24

7

∴CE的长为

24

7

；

（3）△EFP为等腰直角三角形，有两种情况：
①如图1，假设∠PEF=90°，EP=EF
由AB=5，BC=3，AC=4，得∠C=90°
∴Rt△ACB斜边AB上高CD=

12

5

设EP=EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

EF

AB

=

CD-EP

CD

即

x

5

=

12 5 -x

12 5

解得x=

60

37

，即EF=

60

37

当∠EFP?=90°，EF=FP′时，同理可得EF=

60

37

；

②如图2，假设∠EPF=90°，PE=PF时，点P到EF的距离为

1

2

EF
设EF=x，由△ECF∽△ACB，得：

EF

AB

=

CD- 1 2 EF

CD

，即

x

5

=

12 5 - 1 2 x

12 5

解得x=

120

49

，即EF=

120

49

综上所述，在AB上存在点P，使△EFP为等腰直角三角形，此时EF=

60

37

或EF=

120

49

．

点评：此题考查了相似三角形的性质，有一定的开放性，难点在于作出辅助线就具体情况进行分类讨论．