Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径点F、C是半圆弧ABC上的三等份点，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，确定出OC与AD平行，由CD与AD垂直，得到CD与OC垂直，即可得证；

（2）连接OF，利用等弧所对的圆心角相等及平角定义求出∠OCB的度数，在直角三角形OCE中，求出CE的长，利用角平分线性质得到CD=CE，即可求出CD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵，

∴∠DAC=∠CAB，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD，

∵CD⊥AD，

∴CD⊥OC，

则CD为圆O的切线；

（2）连接OF，过C作CE⊥AB，

∵，

∴∠AOF=∠FOC=∠COB=60°，

在Rt△OCE中，OC=4，∠OCE=30°，

∴CE=2，

∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CE⊥AB，

∴CD=CE=2．