Question

如图，在直角坐标系中，直线AB经点P（3，4），与坐标轴正半轴相交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，△AOB的内切圆的半径是（　　）

• A、2
• B、3.5
• C、

  14-7 2

  2

• D、4

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心,坐标与图形性质

专题：压轴题,探究型

分析：设直线AB的解析式是y=kx+b，把P（3，4）代入求出直线AB的解析式是y=kx+4-3k，求出OA=4-3k，OB=

3k-4

k

，求出△AOB的面积是

1

2

•OB•OA=12-

9k2+16

k

=12-（9k+

16

k

），根据-9k-

16

k

≥2

-9k• 16 k

=24和当且仅当-9k=-

16

k

时，取等号求出k=-

4

3

，求出OA=4-3k=8，OB=

3k-4

k

=6，设三角形AOB的内切圆的半径是R，由三角形面积公式得：

1

2

×6×8=

1

2

×6R+

1

2

×8R+

1

2

×10R，求出即可．

解答：解：设直线AB的解析式是y=kx+b，
把P（3，4）代入得：4=3k+b，
b=4-3k，
即直线AB的解析式是y=kx+4-3k，
当x=0时，y=4-3k，
当y=0时，x=

3k-4

k

，
即A（0，4-3k），B（

3k-4

k

，0），
△AOB的面积是

1

2

•OB•OA=

1

2

•

3k-4

k

•（4-3k）=12-

9k2+16

k

=12-（9k+

16

k

），
∵要使△AOB的面积最小，
∴必须

9k2+16

k

最大，
∵k＜0，
∴-k＞0，
∵-9k-

16

k

≥2

-9k• 16 k

=2×12=24，
当且仅当-9k=-

16

k

时，取等号，解得：k=±

4

3

，
∵k＜0，
∴k=-

4

3

，
即OA=4-3k=8，OB=

3k-4

k

=6，
根据勾股定理得：AB=10，
设三角形AOB的内切圆的半径是R，
由三角形面积公式得：

1

2

×6×8=

1

2

×6R+

1

2

×8R+

1

2

×10R，
R=2，
故选A．

点评：本题考查了勾股定理，取最大值，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是求OA和OB的值，本题比较好，但是有一定的难度．