Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2mx+m2+m的顶点为A，与y轴交于点B．当抛物线不经过坐标原点时，分别作点A、B关于原点的对称点C、D，连结AB、BC、CD、DA．

（1）分别用含有m的代数式表示点A、B的坐标．

（2）判断点B能否落在y轴负半轴上，并说明理由．

（3）连结AC，设l=AC+BD，求l与m之间的函数关系式．

（4）过点A作y轴的垂线，交y轴于点P，以AP为边作正方形APMN，MN在AP上方，如图②，当正方形APMN与四边形ABCD重叠部分图形为四边形时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）A（m， m），（0，m2+m）；（2）点B能落在y轴负半轴上；（3）l=2m2﹣m；（4）m＜﹣1．

【解析】试题分析：

（1）①把配方化为顶点式，可得顶点A的坐标；②在中，由可得，由此可得点B的坐标；

（2）由顶点A的位置可得“”；由点B的坐标为可知，若点B在轴负半轴，则有，两者结合可解得： 时，点B就在轴负半轴；

（3）由题意可知： =AC+BD=2OA+OB，由点A、B的坐标可用和含“”的代数式表达出OA、OB的长度，从而可得与间的函数关系式；

（4）由题意可知，当AP<BP时，正方形APMN与四边形ABCD重叠部分图形为四边形时，由AP= ，BP= 列出不等式，结合即可求出的取值范围；

试题解析：

（1）∵把配方，得： ，

∴顶点A的坐标为；

∵在中，当时， ；

∴点B的坐标为；

（2）点B能落在y轴负半轴上，理由如下：

由图可知顶点A在第三象限，

∴，

∵B点的纵坐标要小于零，

∴，

由，得： ，

解得： ，

即当时，点B能落在轴的负半轴上；

（3）由点A、B关于原点的对称点分别为C、D，可得：AC=2OA，BD=2OB，

∵A的坐标为，B的坐标为，

∴OA= ，OB= ，

∴=AC+BD=2OA+2OB= ；

（4）由题意，当正方形APMN与四边形ABCD重叠部分图形为四边形时，AP＜BP，

∵AP= ，BP= ，

∴ ，即，

又∵，

∴，解得： ，

∴当正方形APMN与四边形ABCD重叠部分图形为四边形时， 的取值范围是： .