Question

如图,设抛物线C₁:, C₂:,C₁与C₂的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.

   （1）求的值及点B的坐标； 

（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C₂顶点Ｍ的直线为,且与x轴交于点N.

① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标；

② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

 

Answer 1

解：（1）∵ 点A在抛物线C₁上，∴ 把点A坐标代入得 =1. 

∴ 抛物线C₁的解析式为,

     设B(－2,b)，  ∴  b＝－4,  ∴  B(－2,－4) .             

（2）①如图1，

∵  M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5.

过点G作GE⊥DH,垂足为E,

由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1，

∴  ME＝4.                         

设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1,

由△MEG∽△MHN,得  ,

∴ ,    ∴ ,

∴ 点N的横坐标为．        

 

② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2，

直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大．

过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F,

设Ｎ（x，0），

∵  A (2, 4),    ∴  G (, 2),

∴  NQ=，ＮF =, GQ=2, MF =5.

∵ △NGQ∽△NMF，

∴ ,

∴ ,

∴ .          

当点D移到与点B重合时,如图3，

直线与DG交于点D,即点B,

此时点N的横坐标最小.

   ∵  B(－2, －4),    ∴  H(－2, 0), D(－2, －4),

设N（x，0），

∵ △BHN∽△MFN， ∴ ，

∴ ,    ∴ .                        

∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.