Question

如图△ABC，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，当点C′恰好能落在BC的中点处时，B′C′与AB交于点F，若AC=2，则C′F的长为________．

Answer 1

分析：由AB=BC，∠BAC=∠C，根据旋转的性质得到AC=AC′，BC=B′C′，∠B=∠B′，则∠AC′C=∠C，易证得△ACC′∽△BAC，则AB：AC=AC：CC′，而AC=2，即有2CC′：2=2：CC′，可计算得到CC′=，得到AB=BC=B′C′=B′A=2，BC′=，再证明△BFC′∽△∠B′FA，则BF：B′F=FC′：FA=BC′：B′A=：2=1：2，设BF=x，FC′=y，则B′F=2x，FA=2y，利用B′F+FC′=B′C′=2，BF+FA=2，可得到关于x与y的方程组，解方程组即可．
解答：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C，
∵△ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AB′C′，点C′恰好能落在BC的中点处，
∴AC=AC′，BC=B′C′，∠B=∠B′，
∴∠AC′C=∠C，
∴∠BAC=∠AC′C=∠C，
∴△ACC′∽△BAC，
∴AB：AC=AC：CC′，
∵AC=2，
∴2CC′：2=2：CC′，
∴CC′=，
∴AB=BC=B′C′=B′A=2，BC′=，
∵∠B=∠B′，∠BFC′=∠B′FA，
∴△BFC′∽△∠B′FA，
∴BF：B′F=FC′：FA=BC′：B′A=：2=1：2，
设BF=x，FC′=y，则B′F=2x，FA=2y，
∵B′F+FC′=B′C′=2，BF+FA=2，
∴，
解得，
∴C′F的长为．
故答案为．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质．