Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，且∠BAC＝2∠CBF．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的直径为3，sin∠CBF＝，求BC长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．
（2）解直角三角形即可得到结论．

解：（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴2∠1=∠CAB．
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线；

（2）解：过点C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，

∴sin∠1=，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3，
∴BE=ABsin∠1=3×=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=.