题目内容

直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y=ax²的图象在第一象限内交于点P，若S_△AOP= $数学公式$ ，求二次函数关系式．

解：设直线为：y=kx+b，

∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，
∴4k+b=0，b=4
∴y=-x+4，
∵S_△AOP= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ×4×y_p= $\text{[math]}$ ，
∴y_p= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =-x+4，
解得x= $\text{[math]}$ ，
把点P的坐标（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）代入y=ax²，
解得a= $\text{[math]}$ ，
∴y= $\text{[math]}$ ．
分析：由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直线AB的解析式，再很据S_△AOP= $\text{[math]}$ ，求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，最后把点P的坐标代入y=ax²，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
点评：此题考查一次函数和二次函数的基本性质及其对称轴和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，同时也考查了学生的计算能力．

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已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E．
（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1）AM=

AC且AD=a，求的AE长（用含a的代数式表示）；
（2）在（1）中，直线l把矩形分成两部分的面积比为2：5，求a的值；
（3）若AM=

AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；
（4）如果直线l分别与边AD，AB相交于点E，F，AM=

AC，设AD的长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围（求x的取值范围可不写过程）．

如图，直线AB过点A（m，0）、B（0，n）（m＞0，n＞0），反比例函数y=

的图象与直线AB交于C、

D两点，P为双曲线y=

上任意一点，过P点作PQ⊥x轴于Q，PR⊥y轴于R．
（1）用含m、n的代数式表示△AOB的面积S；
（2）若m+n=10，n为何值时S最大并求出这个最大值；
（3）若BD=DC=CA，求出C、D两点的坐标；
（4）在（3）的条件，过O、D、C点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？

如图，以1为半径的⊙O₁与以2为半径的⊙O₂内切于点A，直线O₁O₂过点A，且交⊙O₂于另一点B，⊙O₂的弦

PQ⊥O₁O₂，交O₁O₂于点K，且PK=

O2K，PC∥O₁O₂，QD∥O₁O₂，PC、QD分别交过点O₂的⊙O₁的切线于点C、D．
（1）求圆心距O₁O₂；
（2）求四边形PCDQ的边长；
（3）若一动点H由点Q出发，沿四边形的边QP、PC、CD移动到点D，设动点H移动的路程为x，△DQH的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

23、已知，等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，直线l过点C，过点A，B分别作l的垂线，垂足分别为E，F．
（1）观察图（1），你能发现EF、AE、BF三者之间的一种数量关系吗？请你将它写出来；
（2）在图（2）中，上面的关系成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（3）当直线l绕点C转到什么位置时EF=BF-AE？在图（3）中画出直线l及AE和BF（不必证明）．

已知直线l过点P（2，1），分别与x轴、y轴交于点A、B，且PA=PB．
（1）求直线l的函数解析式；
（2）设⊙Q是Rt△AOB的内切圆，分别与OA、OB、AB相切于点D、E、F，求证：AD、BE的长是方程x²-2

x+4=0的两个根．