Question

如图，以1为半径的⊙O₁与以2为半径的⊙O₂内切于点A，直线O₁O₂过点A，且交⊙O₂于另一点B，⊙O₂的弦PQ⊥O₁O₂，交O₁O₂于点K，且PK=

1

2

O2K，PC∥O₁O₂，QD∥O₁O₂，PC、QD分别交过点O₂的⊙O₁的切线于点C、D．
（1）求圆心距O₁O₂；
（2）求四边形PCDQ的边长；
（3）若一动点H由点Q出发，沿四边形的边QP、PC、CD移动到点D，设动点H移动的路程为x，△DQH的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可知两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差；
（2）首先可以证明该四边形是正方形，设正方形PCDQ的边长为x．连接O₂P，根据勾股定理列方程求解；
（3）根据运动的路径，显然需要考虑三种情况：H点在QP边上移动时，即0≤x＜

4

5

5

；H点在PC边上移动时，即

4

5

5

≤x＜

8

5

5

；H点在CD边上移动时，即

8

5

5

≤x＜

12

5

5

．
根据三角形的面积公式分别找到三角形的底边及其边上的高进行计算．

解答：解：（1）O₁O₂=2-1=1．

（2）∵CD切⊙O₁于O₂，
∴CD⊥O₁O₂，
又PQ⊥O₁O₂，
∴CD∥PQ．
∵PC∥O₁O₂，QD∥O₁O₂，
∴PC∥QD，PC⊥QP．
∵PK=

1

2

O2K=

1

2

PC=

1

2

PQ，
∴PC=PQ．
故四边形PCDQ是正方形．
设正方形PCDQ的边长为x，
则PK=

1

2

x，O₂K=x，
由O₂P²=O₂K²+PK²，得
22=x2+(

x

2

)2，
解得，x=±

4

5

5

，舍去x=-

4

5

5

．
∴这个四边形四条边的长都是

4

5

5

．


（3）当H点在QP边上移动时，则QH=x；
∴y=

1

2

•(

4

5

5

)x=

2

5

5

x（0≤x＜

4

5

5

）；
当H点在PC边上移动时，
∴y=

1

2

•(

4

5

5

)2=

8

5

（

4

5

5

≤x＜

8

5

5

）；
当H点在CD边上移动时，DH=3×

4

5

5

-x
∴y=

1

2

×

4

5

5

×(

12

5

5

-x)=-

2

5

5

x+

24

5

（

8

5

5

≤x＜

12

5

5

）．
综上所述y=

2 5 5 x(0≤x＜ 4 5 5 ) 8 5 ( 4 5 5 ≤x＜ 8 5 5 - 2 5 5 x+ 24 5 ( 8 5 5 ≤x＜ 12 5 5 )

．

点评：熟悉相切两圆的性质：两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差；两圆外切，圆心距等于两圆半径之和．掌握正方形的判定方法，能够分别画出不同动态时一种静态时的位置，进行分析计算图形的面积．