Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=4，AE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】

【1】 证明：边结OA，

∵OA=OD，∴∠1=∠2．

∵DA平分，∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．∴OA∥DE．

∴∠OAE=∠4，[

∵，∴∠4=90°．∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．

又∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线.

【2】 ∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°．

∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．

又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．∴

∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．

在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD=．

∴⊙O半径为．

【解析】

试题（1）连接OA，利用已知首先得出OA∥DE，进而证明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切线；

（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例关系从而求出⊙O半径的长．

试题解析：（1）连接OA，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．

∵DA平分∠BDE，

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．∴OA∥DE．

∴∠OAE=∠4，

∵AE⊥CD，∴∠4=90°．

∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．

又∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线．

（2）∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°．

∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5．

又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．

∴，

∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．

在Rt△BAD中，根据勾股定理，

得BD=．

∴⊙O半径为．