Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

分析：（1）把A和B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a与b的二元一次方程组，求出方程组的解集得到a与b的值，进而确定出抛物线的解析式；
（2）在抛物线在第二象限图象上任取一点E，过E作EF垂直于x轴，垂足为F，连接BE，EC，BC，△BEC的面积=△BEF的面积+梯形COFE的面积-△BOC的面积，由抛物线与y轴的交点为C，求出C的坐标得到OC的长，由B的坐标得到OB的长，又△BOC为直角三角形，两直角边OB与OC乘积的一半即为△BOC的面积，此面积为定值，故要求△BEC面积的最大值，即要求三角形BEF的面积+梯形COFE的面积的最大值，设出E的坐标（m，-m²-2m+3），EF为E的纵坐标，OF为E横坐标的绝对值，BF=OB-OF，而△BEF为直角三角形，利用两直角边EF与BF乘积的一半表示出此三角形的面积，再根据上下底之和的一半乘以高表示出梯形OCFE的面积，进而表示出△BEF的面积+梯形COFE的面积之和，配方后根据二次项系数小于0，得到抛物线开口向下，二次函数有最大值，利用二次函数的性质求出此时面积之和的最大值，用求出面积之和的最大值减去△BOC的面积，即可得到△BEC面积的最大值，由此时求出的m，可确定出此时E的坐标．

解答：解：（1）把点A（1，0）和点B（-3，0）代入抛物线解析式得：

a+b+3=0① 9a-3b+3=0②

，
①×3+②得：12a+12=0，解得：a=-1，
把a=-1代入①得：-1+b+3=0，解得：b=-2，
∴方程组的解集为

a=-1 b=-2

，
则所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）过点E作EF⊥x轴于点F，连接BE，FC，BC，

设E（m，-m²-2m+3）（-3＜m＜0），
∴EF=-m²-2m+3，BF=m+3，OF=-m，
∴S_{四边形BOCE}=

1

2

BF•EF+

1

2

（OC+EF）•OF
=

1

2

（m+3）•（-m²-2m+3）+

1

2

（-m²-2m+6）•（-m）
=-

3

2

m2-

9

2

m+

9

2

=-

3

2

(m+

3

2

)2+

63

8

，
∴当m=-

3

2

时，S_{四边形BOCE}最大，且最大值为

63

8

，
而S_△BOC值一定，具体求法如下：
∵B（-3，0），C（0，3），
∴OB=3，OC=3，
∴S_△BOC=

1

2

OB•OC=

9

2

，
则△BCE面积的最大值S=S_{四边形BOCE}-S_△BOC=

63

8

-

9

2

=

27

8

，
又∵当m=-

3

2

时，-m²-2m+3=-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
则此时点E坐标为（-

3

2

，

15

4

）．

点评：此题属于二次函数的综合性题，涉及的知识有：利用待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系中点的坐标与线段长度的关系，利用二次函数求面积的最大值，以及直角三角形、梯形的面积公式，根据图形得出三角形BEC的面积=三角形BEF的面积+梯形COFE的面积-三角形BOC的面积是解本题第二问的关键．