Question

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．
（1）求证：DE=EC；
（2）若AD=BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；
（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．
解答：（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，
∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC；

（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱形．
证明：∵∠BDE=∠DBC．
∴BE=DE，
∵DE=EC，
∴BE=EC=BC，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BE=DE，
∴?ABED是菱形．
点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．