Question

【题目】如图，，点、都在射线上，，，是射线上的一个动点，过、、三点作圆，当该圆与相切时，其半径的长为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

圆C过点P、Q，且与相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON、ND、PN，设圆C的半径为r，再根据等腰直角三角形的性质即可用r表示出CD、NC，最后根据勾股定理列方程即可求出r．

解：如图所示，圆C过点P、Q，且与相切于点M，连接CM，CP，过点C作CN⊥PQ于N并反向延长，交OB于D

∵，，

∴PQ=OQ－OP=4

根据垂径定理，PN=

∴ON=PN＋OP=4

在Rt△OND中，∠O=45°

∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，OD=

设圆C的半径为r，即CM=CP=r

∵圆C与相切于点M，

∴∠CMD=90°

∴△CMD为等腰直角三角形

∴CM=DM=r，CD=

∴NC=ND－CD=4－

根据勾股定理可得：NC2＋PN2=CP2

即

解得：（此时DM＞OD，点M不在射线OB上，故舍去）

故答案为：．