Question

在平面直角坐标系中，A点坐标为(0，4)，C点坐标为(10，0)．

(1)如图①，若直线AB∥OC，AB上有一动点P，当P点的坐标为________时，有PO＝PC；

(2)如图②，若直线AB与OC不平行，在过点A的直线y＝－x＋4上是否存在点P，使∠OPC＝90°，若有这样的点P，求出它的坐标．若没有，请简要说明理由；

(3)若点P在直线y＝kx＋4上移动时，只存在一个点P使∠OPC＝90°，试求出此时y＝kx＋4中k的值是多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)(5，4) 　　(2)设P(x，－x＋4) 　　连接OP、PC，过P作PE⊥OC于E，过P点作PN⊥OA于N 　　因为OP2＝x2＋(－x＋4)2 　　PC2＝(－x＋4)2＋(10－x)2 　　OP2＋PC2＝OC2 　　所以x2＋(－x＋4)2＋(－x＋4)2＋(10－x)2＝102 　　x2－9x＋8＝0 　　x1＝1，x2＝8 　　所以P坐标(1，3)或(8，－4)． 　　(3) 　　作以OC为直径的⊙F，当过A的直线y＝kx＋4切⊙F于点P时，直线y＝kx＋4与x轴交于点M，此时只有一个点P． 　　易知：△MAO∽△MFP 　　由MO∶MP＝OA∶FP， 　　设MO＝a，由PF＝5，OA＝4 　　得MP＝a 　　在Rt△MPF中，由MP2＋PF2＝MF2得(a)2＋52＝(a＋5)2 　　得a1＝0(不合题意，舍去)，a2＝ 　　因为y＝kx＋4与x轴交点的横坐标为 　　 　　又当直线y＝kx＋4过点C(10，0)时，过原点O有惟一的一条直线与此直线垂直 　　此时k＝