Question

【题目】在△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD与高BE的交点．

（1）求证：△ADC≌△BDF．

（2）连接CF，若CD＝4，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）4

【解析】

（1）先证明AD＝BD，再证明∠FBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC；

（2）利用全等三角形对应边相等得出DF＝CD＝4，根据勾股定理求出CF即可．

（1）证明：∵AD⊥BC，

∴∠FDB＝∠ADC＝90°，

∵∠ABC＝45°，

∴∠BAD＝45°＝∠ABD，

∴AD＝BD，

∵BE⊥AC，

∴∠AEF＝∠FDB＝90°，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴由三角形内角和定理得：∠CAD＝∠FBD，

在△ADC和△BDE中

∴△ADC≌△BDE（ASA）；

（2）解：∵△ADC≌△BDE，CD＝4，

∴DF＝CD＝4，

在Rt△FDC中，由勾股定理得：CF＝＝＝4．