题目内容
阅读与证明：
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF＝45 °，
求证：BF＋DE＝EF。
分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF＋DE相等的线段。如图1延长ED至点F'，使DF'＝BF，连接A F'，易证△ABF≌△ADF'，进一步证明△AEF≌△AEF'，即可得结论。
（1）请你将下面的证明过程补充完整。
证明：延长ED至F'，使DF'＝BF，
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB＝AD，∠ABF＝∠ADF'＝90°，
∴ △ABF≌△ADF'（SAS）
应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上。
（2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
（3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式： 。
如图，已知正方形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，且∠EAF＝45 °，
求证：BF＋DE＝EF。
分析：证明一条线段等于另两条线段的和，常用“截长法”或“补短法”，将线段BF、DE放在同一直线上，构造出一条与BF＋DE相等的线段。如图1延长ED至点F'，使DF'＝BF，连接A F'，易证△ABF≌△ADF'，进一步证明△AEF≌△AEF'，即可得结论。
（1）请你将下面的证明过程补充完整。
证明：延长ED至F'，使DF'＝BF，
∵ 四边形ABCD是正方形
∴ AB＝AD，∠ABF＝∠ADF'＝90°，
∴ △ABF≌△ADF'（SAS）
应用与拓展：如图建立平面直角坐标系，使顶点A与坐标原点O重合，边OB、OD分别在x轴、y轴的正半轴上。
（2）设正方形边长OB为30，当E为CD中点时，试问F为BC的几等分点？并求此时F点的坐标；
（3）设正方形边长OB为30，当EF最短时，直接写出直线EF的解析式： 。
解：（1）证明：∴AF＝AF'，∠BAF＝∠DAF'
∵∠F'AE＝∠F'AD＋∠DAE＝∠BAF＋∠DAE＝∠DAB-∠EAF＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴ ∠F?AE＝∠EAF
∴△AEF≌△AEF'
∴EF＝EF'＝ED＋DF'＝ED＋BF ；
（2）设BF＝a，
则CF＝30-a，EF＝15＋a
在Rt△CEF中
EC2＋CF2＝EF2
∴152＋(30-a)2＝(15＋a)2
∴a＝10
∴F为BC的三等分点
∴F(30，10)
（3）y＝-x＋
。
∵∠F'AE＝∠F'AD＋∠DAE＝∠BAF＋∠DAE＝∠DAB-∠EAF＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴ ∠F?AE＝∠EAF
∴△AEF≌△AEF'
∴EF＝EF'＝ED＋DF'＝ED＋BF ；
（2）设BF＝a，
则CF＝30-a，EF＝15＋a
在Rt△CEF中
EC2＋CF2＝EF2
∴152＋(30-a)2＝(15＋a)2
∴a＝10
∴F为BC的三等分点
∴F(30，10)
（3）y＝-x＋
。
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