题目内容

如图，已知点O为坐标原点，∠AOB=30°，∠B=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A，B，O三点，求此二次函数的解析式；
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括O，B点）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出点C的坐标及四边形ABCO的最大面积；若不存在，请说明理由．

解：（1）在Rt△OAB中，
∵∠AOB=30°，
∴OB= $\text{[math]}$ ，
过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，
则OD= $\text{[math]}$ cos30°= $\text{[math]}$ ，BD= $\text{[math]}$ BO= $\text{[math]}$ ，
∴点B的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）；

（2）将A（2，0）、B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）、O（0，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c，
得： $\text{[math]}$ ，
解方程组， $\text{[math]}$ ，
∴所求二次函数解析式是y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x；

（3）设存在点C（x，- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x）（其中0＜x＜ $\text{[math]}$ ），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，
只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．
过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，
则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF= $\text{[math]}$ |CF|•|OE|+ $\text{[math]}$ |CF|•|ED|= $\text{[math]}$ |CF|•|OD|= $\text{[math]}$ |CF|，
而|CF|=y_C-y_F=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
∴S_△OBC=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，
∴当x= $\text{[math]}$ 时，△OBC面积最大，最大面积为 $\text{[math]}$ ．
此时C点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故四边形ABCO的最大面积为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）在Rt△OAB中，由∠AOB=30°可以得到OB= $\text{[math]}$ ，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，利用已知条件可以求出OD，BD，也就求出B的坐标；
（2）根据待定系数法把A，B，O三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式；
（3）设存在点C（x，- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x），使四边形ABCO面积最大，而△OAB面积为定值，只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则S_△OBC=S_△OCF+S_△BCF= $\text{[math]}$ |CF|•|OE|+ $\text{[math]}$ |CF|•|ED|= $\text{[math]}$ |CF|•|OD|= $\text{[math]}$ |CF|，而|CF|=y_C-y_F=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ x=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，这样可以得到S_△OBC=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x，利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值，也可以求出C的坐标．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解函数的最大值等知识，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．