Question

【题目】如图1，，平分，以为顶点作，交于点，于点E.

（1）求证：；

（2）图1中，若，求的长；

（3）如图2，，平分，以为顶点作，交于点，于点.若，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OD+OE =；（3）

【解析】

（1）过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG ≌ △CEH，从而求解；

（2）根据全等三角形的性质得到OD+OE =2OH，然后利用勾股定理求OH的值，从而求解；

（3）过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根据题意利用AAS定理进行证明△CDG ≌ △CEH，从而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性质求得OH=,CH=从而求得三角形面积，使问题得到解决.

解：（1）如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，

∵平分

∴CG =CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180

∵∠CDG+∠CDO=180

∴∠CDG =∠CEO

在△CDG与△CEH中

∴△CDG ≌ △CEH(AAS)

∴

(2)由（1）得△CDG ≌ △CEH

∴DG=HE

由题易得△OCG与△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH

∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH

设OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得:

OH2+CH2=OC2

∴

∴(舍负)

∴OH =

∴OD+OE =2OH=

（3）如图,过点C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，

∵平分

∴CG =CH

∵,

∴∠CDO+∠CEO=180

∵∠CDG+∠CDO=180

∴∠CDG =∠CEO

在△CDG与△CEH中

∴△CDG ≌ △CEH(AAS)

∴DG=HE

由题易得△OCG与△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH

∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH

∴==2

在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，

∴OH=,CH=

∴

∴=2=