Question

如图，直线y=kx-2（k＞0）与双曲线y=在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q．作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则k=________．

Answer 1

3
分析：先利用直线的解析式求出点Q的坐标，再判定△OPQ与△PRM相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出RM的长度，再根据双曲线的解析式求出点R的坐标，最后把点R的坐标代入直线解析式进行计算即可求出k的值．
解答：当x=0时，y=k×0-2=-2，
∴点Q的坐标是（0，-2），
∴OQ=2，
∵RM⊥x轴于点M，
∴∠RMP=90°，
∵∠QOP=90°，
∴∠RMP=∠QOP，
又∵∠RPM=∠QPO（对顶角相等），
∴△OPQ∽△PRM，
∵△OPQ与△PRM的面积之比是4：1，
∴OQ：RM=2：1，
∴RM=OQ=×2=1，
∵点R在双曲线y=上，
∴x===1，
∴点R的坐标是（1，1），
∴k-2=1，
解得k=3．
故答案为：3．
点评：本题是反比例函数综合题，主要考查了直线的交点问题，相似三角形的判定与相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质，以及待定系数法求函数解析式的思想，综合性较强，但难度不大，仔细分析即可轻松求解．