Question

【题目】如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．

（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？

（2）在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似；（2）四边形与的面积不能相等，理由见解析．

【解析】

（1）先利用勾股定理计算出AC=10，由于∠PCQ=∠ACB，根据三角形相似的判定，当∠PQC=∠B时可判断CQP∽△CBA，利用相似比得到 ；当∠PQC=∠BAC时可判断△CQP∽△CAB，利用相似比得到，然后分别解方程求出t的值即可；
（2）作PQ⊥BC于H，如图，先证明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH=，再利用四边形ABQP与△CPQ的面积相等得到S△ABC=2S△CPQ，利用三角形面积公式得到268，然后解关于t的方程可判断四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等．

（1）在R中，，

∵，

∴当时，，则，即，解得；

当时，，则，即，解得；

∴t为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似；

（2）四边形与的面积不能相等．

理由如下：

作于H，如图，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

当四边形与的面积相等时，

，即，

∴，

整理得，此时方程无实数解，

∴四边形与的面积不能相等．