Question

（2010•河北区模拟）如图，在△ABC中，AB=BC=AC=3，O是它的中心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为

3 3

2

．

Answer 1

分析：根据正三角形的边长是3，求出正三角形的高，从而得正三角形的面积，再根据以等边△ABC的中心O为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′可得到D点为AM的中点，点F为AH的中点，M、Q、H、F为等边△ABC各边的三等分点，得每一个小三角形的面积，即可求出阴影部分的面积．

解答：解：过A作AE⊥CB于E，
∵AB=BC=AC=3，
∴EB=1.5，
∴AE=

AB2-EB2

=

9-2.25

=

3 3

2

，
∴S_△ABC=

1

2

•CB•AE=

1

2

×3×

3 3

2

=

9

4

3

，
∵以等边△ABC的中心O为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，
∴DF=PQ=

1

3

BC，MH=

2

3

BC，
∴DF=

1

2

MH，
∴D点为AM的中点，点F为AH的中点，
同理得到M、Q、H、F为等边△ABC各边的三等分点，
∴每一个小三角形的面积是

1

2

×1×

3

2

=

3

4

，
∴阴影部分的面积是

9 3

4

-3×

3

4

=

3

2

3

．
故答案为：

3 3

2

．

点评：本题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质．关键是求出正三角形ABC的面积与每一个小三角形的面积．