Question

如图，在平面直角坐标系中，已知直线AB：y=-x+3分别与x轴、y轴分别交于点A、点B．动点P、Q分别从O、A同时出发，其中点P以每秒1个点位长度的速度沿OA方向向A点匀速运动，到达A点后立即以原速度沿AO返向；点Q以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿A-B-O方向向O点匀速运动．当点Q到达点O时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t（秒）．
（1）求点A与点B的坐标；
（2）如图1，在某一时刻将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处，求此时△APQ的面积；
（3）若D为y轴上一点，在点P从O向A运动的过程中，是否存在某一时刻，使得四边形PQBD为等腰梯形？若存在，求出t的值与D点坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，在P、Q两点运动过程中，线段PQ的垂直平分线EF交PQ于点E，交折线QB-BO-OP于点F．问：是否存在某一时刻t，使EF恰好经过原点O？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）令y=-x+3=0，解得x=4，
∴点A的坐标为（4，0）；
令x=0，得y=-×0+3=3，
∴点B的坐标为：（0，3）；

（2）由题意知，此时△APQ≌△DPQ，∠AQP=90°，
此时△AQP∽△AOB，AQ=t，AP=4-t
∴
即：
解得：AQ=t=，QP=，
∴S_△APQ=AQ•PQ=××=；

（3）存在，有以下两种情况
①若PE∥BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M，PN⊥AB于N．
则有BM=QN，由PE∥BQ，
得 ，
∴BM=（3-t）；
又∵AP=4-t，
∴AN=（4-t），
∴QN=（4-t）-t，
由BM=QN，得（3-t）=（4-t）-t
∴t=，
∴E（0，）；
②若PQ∥BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=AQ=t
∵OP+AP=OA，
∴t+t=4
∴t=，
∴OE=，
∴点E（0，-）
由①②得E点坐标为（0，）或（0，-）．

（4）连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．
①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t
∴BQ=AQ=AB
∴t=
当点Q由点B向点O匀速运动，即5＜t＜8时，△OPQ始终是等腰直角三角形，那么线段PQ的垂直平分线EF必定都经过原点O，所以5＜t＜8时也符合条件．
综上①、②、③所述，所有符合条件的t的值是t=5≤t＜8；
②连接OQ，并过点Q作QG⊥y轴y于G．
当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t
BQ=5-t，QG=（5-t），OG=3-（5-t）
在Rt△OGQ中，OQ²=QG²+OG²
即（8-t）²=[（5-t）]2+[3-（5-t）]²
∴t=5
分析：（1）分别求得直线AB与坐标轴的交点坐标即可求得A点与B点的坐标；
（2）当将△APQ沿PQ翻折，使点A恰好落在AB边的点C处时，∠AQP=90°，然后利用相似三角形求得线段AQ和线段PQ的长即可求得三角形APQ的面积；
（3）①若PD∥BQ，则梯形PQBD是等腰梯形．过D、P分分别作DM⊥AB于M，PN⊥AB于N．构造矩形PNMD．则有BM=QN，由PD∥BQ，得=，从而求得MB的值；在直角三角形APN中根据AP求得QN的值，然后由BM=QN，求得t，所以点E的坐标就迎刃而解了；
②若PQ∥BD，则等腰梯形PQBD中BQ=EP且PQ⊥OA于P点．由OP+AP=OA求得t值；
（4）①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t．再有边角关系求得BQ=AQ=AD，解得t值；②②当P由A向O运动时，OQ=OP=8-t．在Rt△OGQ中，利用勾股定理得OQ²=QG²+OG²，列出关于t的方程，解方程即可．
点评：本题主要考查了一次函数的应用，相似三角形的性质以及二次函数等知识点的综合应用，弄清相关线段的大小和比例关系是解题的关键．