Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点F为圆上一点，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过点E作直线与AF垂直，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C
（1）试证明CD与⊙O相切于点E．
（2）若BC=2，AD=3，求⊙O的半径及∠AED的度数．

Answer 1

分析 （1）要证CD是⊙O的切线，只要连接OE，再证∠OED=90°即可．
（2）设⊙O的半径为x，由OE∥AD，得出比例式$\frac{OE}{AD}=\frac{OC}{AC}$，求出半径，得出∠OCE=30°，由直角三角形的性质得出∠CAD=60°，求出∠CAE=∠DAE=30°，即可得出∠AED的度数．

解答 （1）证明：连接OE，如图所示：
∵AE平分∠BAF，
∴∠CAE=∠DAE．
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠CAE．
∴∠DAE=∠OEA．
∴OE∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OE⊥CD，
∴CD与⊙O相切于点E；
（2）解：设⊙O的半径为x，
由（1）得：OE∥AD，
∴$\frac{OE}{AD}=\frac{OC}{AC}$，即$\frac{x}{3}=\frac{x+2}{2x+2}$，
解得：x=2，或x=-1.5（不合题意，舍去），
∴⊙O的半径为2，
在Rt△OCE中，OE=2，OC=2+2=4，
∴OC=2OE，
∴∠OCE=30°，
∴∠CAD=90°-30°=60°，
∴∠CAE=∠DAE=30°，
∴∠AED=90°-30°=60°．

点评 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、平行线分线段成比例定理等知识；本题综合性强，有一定难度，运用平行线分线段成比例定理求出半径是解决问题的关键．