题目内容

如图，△AOC在平面直角坐标系中，∠AOC=90°，且O为坐标原点，点A、C分别在坐标轴上，AO=4，OC=3，将△AOC绕点C按逆时针方向旋转，旋转后的三角形记为△CA′O′．
（1）求AC的长；
（2）当CA边落在y轴上（其中旋转角为锐角）时，一条抛物线经过A、C两点且与直线AA′相交于x轴下方一点D，如果S_△AOD=9，求这条抛物线的解析式；
（3）继续旋转△CA′O′，当以CA′为直径的⊙P与（2）中抛物线的对称轴相切时，圆心P是否在抛物线上，请说明理由．

解：（1）在Rt△AOC中，∵AO=4，OC=3，
∴AC=5；

（2）由旋转可知A′C=AC=5．
∴A′O=A′C-OC=2．
∴A（-4，0），C（0，3），A′（0，-2）．
可求得直线AA′的解析式为 $\text{[math]}$ ．
抛物线与直线AA′交于点D，设点D（x，y）
∵S_△AOD=9，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
将 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，得x=5．
∴D（5， $\text{[math]}$ ），
∵抛物线过A、C、D三点，
∴可求得抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ；

（3）由 $\text{[math]}$ 得对称轴为 $\text{[math]}$ ．
∵⊙P与抛物线的对称轴相切，可有两种情况：
情况1：如图②，过点P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E，交y轴于点F，点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径，
即PE= $\text{[math]}$ ，PF=2．CF= $\text{[math]}$ ．
∴FO=CO-CF= $\text{[math]}$ ，
∴P（2， $\text{[math]}$ ）．
∵点P的坐标满足 $\text{[math]}$ ，
∴点P在抛物线上．
情况2：如图③，过点P′向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E′，交轴于点F′．
同理可求得点P′（2， $\text{[math]}$ ）．
∵点P′坐标不满足抛物线 $\text{[math]}$ ，
∴此点P′不在抛物线上．

分析：（1）本题需先根据已知条件∠AOC=90°，AO=4，OC=3，从而求出结果．
（2）本题需先根据旋转得出A′C、AC的值，从而得出A′O的结果，即可得出A，C，A′的坐标，求出直线AA′的解析式，再根据抛物线与直线AA′相交于点D，根据S_△AOD=9，得出D的坐标，即可得出抛物线的解析式．
（3）本题需先根据（2）的解析式得出对称轴为x的值，在分两种情况进行讨论，情况1：过点P向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E，交y轴于点F，点P到对称轴的距离PE等于⊙P的半径，即可求出PE、PF、CF的值，得出P点坐标，从而判断出P点的位置；情况2：如图③，过点P′向抛物线的对称轴作垂线，交对称轴于点E′，交轴于点F′，同样的道理求出P′的坐标，从而判断出点P′的位置．
点评：本题主要考查了二次函数的综合，在解题时要结合图形画出辅助线是解题的关键，其中涉及到知识点是抛物线的顶点公式等，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．