Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，∠POC＝∠PCE．

(1)求证：PC是⊙O的切线；

(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径；

(3)在(2)的条件下，求sin∠PCA的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在△OCP和△CEP中， 　　∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE， 　　∴△COP∽△ECP， 　　∴∠OCP＝∠CEP． 　　∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°， 　　∴∠OCP＝90°，∴PC为⊙O的切线． 　　(2)设OE＝x，则EA＝2x，OA＝OC－3x． 　　∵∠COP＝∠PCE，∴sin∠OPC＝sin∠OCE， 　　即＝，解得x＝1，∴OA＝3． 　　(3)∵∠OCP＝90°，∴∠PCA＋∠ACO＝90°， 　　∴sin∠PCA＝cos∠ACO． 　　又OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO， 　　∴sin∠PCA＝cos∠CAO．而AE＝2，OE＝1，OC＝3， 　　∴AC＝－2． 　　而cos∠CAO＝＝＝，即sin∠PCA＝． 　　思路点拨：(1)要证切线PC，仍是先证PC⊥OC． 　　(2)要求半径，可以求OA，先求OE，这可以在Rt△PCO中，利用∠POC＝∠PCE，列出有关方程求解． 　　(3)求sin∠PCA，先求sin∠ACE＝． 　　评注：①本题主要考查切线的判定定理，同时考查了三角函数的概念、垂径定理、勾股定理及转化思想、方程思想，是一道比较好的综合题． 　　②对于(3)中sin∠PCA的转化，还可以利用弦切角定理转化成sin∠ACE，这将会在以后的学习中学到．