题目内容
已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为
，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；
（3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．
解答：
解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）．（1分）
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，
得
（2分）
解这个方程组，得
故抛物线的解析式为y=-
x2+
x+1；（3分）
（2）EF=2GO成立．（4分）
∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为
，
∴点M的纵坐标为
．（5分）
设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0），将点D、M的坐标分别代入，
得
，
解得
∴DM的解析式为y=-
x+3．（6分）
∴F（0，3），EF=2．（7分）
过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．
∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∵OC=3，
∴GO=1．（8分）
∴EF=2GO；
（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），
则设P（t，2）．
∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2．
①PG=PC，则（t-1）2+22=（3-t）2+22，
解得t=2．
∴P（2，2），此时点Q与点P重合，
∴Q（2，2）．（9分）
②若PG=GC，则（t-1）2+22=22，
解得t=1，
∴P（1，2），
此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
∴点Q的纵坐标为
，
∴Q（1，
）．（10分）
③若PC=GC，则（3-t）2+22=22，解得t=3，
∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
∴Q（h+1，h）．
∴
（h+1）2+
（h+1）+1=h．
解得h1=
，h2=-2（舍去）．
∴Q（
，
）．（12分）
综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，
）或Q（
，
）．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
（2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；
（3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．
解答：
解：（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）．（1分）
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，
得
（2分）解这个方程组，得
故抛物线的解析式为y=-
x2+
x+1；（3分）（2）EF=2GO成立．（4分）
∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为
，∴点M的纵坐标为
．（5分）设DM的解析式为y=kx+b1（k≠0），将点D、M的坐标分别代入，
得
，解得
∴DM的解析式为y=-
x+3．（6分）∴F（0，3），EF=2．（7分）
过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK．
∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∵OC=3，
∴GO=1．（8分）
∴EF=2GO；
（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），
则设P（t，2）．
∴PG2=（t-1）2+22，PC2=（3-t）2+22，GC=2．
①PG=PC，则（t-1）2+22=（3-t）2+22，
解得t=2．
∴P（2，2），此时点Q与点P重合，
∴Q（2，2）．（9分）
②若PG=GC，则（t-1）2+22=22，
解得t=1，
∴P（1，2），
此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
∴点Q的纵坐标为
，∴Q（1，
）．（10分）③若PC=GC，则（3-t）2+22=22，解得t=3，
∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
∴Q（h+1，h）．
∴
（h+1）2+
（h+1）+1=h．解得h1=
，h2=-2（舍去）．∴Q（
，
）．（12分）综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，
）或Q（
，
）．点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、三角形全等、探究等腰三角形的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．
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