Question

如图，以等腰△ABC的一腰AB上的点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O交底边BC于点D．过D作⊙O的切线DE，交AC于点E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AB=BC=CA=2，问圆心O与点A的距离为多少时，⊙O与AC相切？

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥OD，
∴DE⊥AC．

（2）解：过O作OF⊥AC于F，设AF=x，
∵△ABC为等边三角形，
∴在Rt△AOF中∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，
由OA+OB=AB得：x+2x=2，
解得：x=4-2，
∴OA=2x=8-4，
答：圆心O与点A的距离为8-4时，⊙O与AC相切．
分析：（1）连接OD，由切线性质求出OD⊥DE，根据等腰三角形性质求出∠B=∠ODB=∠C，推出OD∥AC，即可求出DE⊥AC．
（2）作OF⊥AC于F，设AF=x，根据等边三角形的性质求出∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，根据OA+OB=AB得出x+2x=2，求出x即可．
点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平行线的性质的应用，通过做此题培养了学生的推理能力和计算能力，题型较好，综合性比较强．