Question

2．定义：如果两个函数的交点横坐标至少有一个在指定范围内，我们就称这两个函数在这个范围内是互为友好函数．
（1）若函数y=2x+m-1与函数y=x+1在0＜x＜2上是友好函数，求m的取值范围；
（2）若函数y=2x+m-1与函数y=-$\frac{1}{x}$在0＜x＜2上是友好函数，求m的取值范围；
（3）若函数y=2x+m-1过点（0，1），且与函数y=x²+x+c在0≤x≤2上是友好函数，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）（2）两个函数联立方程，求得方程的解，得出m的取值范围；
（3）把点（0，1）代入y=2x+m-1，求得m，再把x=0，或x=2代入y=2x+m-1求得y，代入y=x²+x+c得出c的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，
2x+m-1=x+1，
解得x=-m-2，
∵0＜-m-2＜2，
∴-4＜m＜-2；
（2）由题意得2x+m-1=-$\frac{1}{x}$
2x²+（m-1）x+1=0，
△=（m-1）²-4×2×1=0，
解得：m=1+2$\sqrt{2}$，或m=1-2$\sqrt{2}$，
当m=1+2$\sqrt{2}$时，解得x=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，不合题意，
当m=1-2$\sqrt{2}$时，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，符合题意，
因此x=1-2$\sqrt{2}$；
（3）∵把点（0，1）代入y=2x+m-1，得m=2，
∴y=2x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{y={x}^{2}+x+c}\end{array}\right.$，消去y得：x²-x+c-1=0，
∵△≥0
∴c≤$\frac{5}{4}$，
由题意知，x²-x+c-1=0的正数解在0与2之间，
即0≤$\frac{1+\sqrt{5-4c}}{2}$≤2，
解得：-1≤c≤$\frac{5}{4}$．

点评 此题考查一次函数、反比例函数、二次函数的性质，理解有好函数的意义，建立方程解决问题．