Question

4．当x²-4x+1=0时，求$\frac{{x}^{2}}{1-x}$+1+$\frac{1}{{x}^{2}-x}$的值．

Answer 1

分析 先将$\frac{{x}^{2}}{1-x}$+1+$\frac{1}{{x}^{2}-x}$化简为：-$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$+1，然后根据x²-4x+1=0，求出x²+x+1=5x，然后代入求解即可．

解答 解：$\frac{{x}^{2}}{1-x}$+1+$\frac{1}{{x}^{2}-x}$
=$\frac{{x}^{2}}{1-x}$+1-$\frac{1}{x（1-x）}$
=$\frac{{x}^{3}}{x（1-x）}$-$\frac{1}{x（1-x）}$+1
=$\frac{{x}^{3}-1}{x（1-x）}$+1
=$\frac{（x-1）（{x}^{2}+x+1）}{x（1-x）}$+1
=-$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$+1
∵x²-4x+1=0
∴x²+1=4x，
∴x²+x+1=5x，
∴原式=-$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$+1=-$\frac{5x}{x}$+1=-5+1=-4．

点评 本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键在于将$\frac{{x}^{2}}{1-x}$+1+$\frac{1}{{x}^{2}-x}$化简为：-$\frac{{x}^{2}+x+1}{x}$+1，然后根据x²-4x+1=0，求出x²+x+1=5x，然后代入求解．