Question

19．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA长为半径的⊙O与AD，AC分别交于点E，F，连接CE并延长交BA的延长线于点G，且AE=DE，∠ACB=∠DCE
（1）求证：△AEG≌△DEC；
（2）判断直线CG与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（3）若CG=$\sqrt{6}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠D=∠BAD=90°，推出∠GAD=∠D，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；
（3）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，根据全等三角形的性质得到求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程（$\sqrt{3}$）²-x²=（$\sqrt{6}$-x）²，解此方程即可求得⊙O的半径．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，
∵∠D=∠BAD=90°，
∴∠GAD=90°，
∴∠GAD=∠D，
在△AEG与△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠D}\\{AE=DE}\\{∠GEA=∠DEC}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DEC；

（2）直线CG与⊙O相切；
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD，CD=AB，
∴∠DCE+∠DEC=90°，∠ACB=∠DAC，
又∠DCE=∠ACB，
∴∠DEC+∠DAC=90°，
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠DAC，
∴∠DEC+∠OEA=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥EC，
∵OE为圆O半径，
∴直线CG与⊙O相切；

（3）∵∠B=∠D，∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CBA，
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{DE}$
又CD=AB，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BC}{CD}$=$\sqrt{2}$，
∵△AEG≌△DEC，
∴CE=GE，
∴EC=$\frac{1}{2}$CG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{2}$CE=$\sqrt{6}$，
又AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$AB，
设OA=OE=为x，则（$\sqrt{3}$）²+x²=（$\sqrt{6}$-x）²，
解得x=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴⊙O的半径为$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．