Question

【题目】如图，

（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，若∠A =70°，试求∠BDC的度数，并说明理由。

（2）如图②，BD、CD分别是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分线且相交于点D，若∠A =x°，试用x表示∠BDC的度数，并说明理由。

（3）如图③，BD、CD分别是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分线且相交于点D，试找出∠A与∠BDC之间的数量关系，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝125°，理由见解析；（2）∠BDC＝90°x°，理由见解析；（3）∠BDC＝∠A，理由见解析.

【解析】

（1）先根据三角形内角和定理求出∠ABC＋∠ACB＝110°，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理求解即可；

（2）先根据外角平分线的性质求出∠CBD＝（∠A＋∠ACB），∠BCD＝（∠A＋∠ABC），再由三角形内角和定理解答即可；

（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，再根据角平分线的定义可得∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，然后整理可得∠BDC＝∠A.

解：（1）∠BDC＝125°，

理由：∵BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线，

∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，

∵∠ABC＋∠ACB＝180°∠A＝110°，

∴∠BDC＝180°∠DBC∠DCB＝180°（∠ABC＋∠ACB）＝180°55°＝125°；

（2）∠BDC＝90°x°；

理由：∵BD、CD分别是△ABC外角∠EBC、∠FCB的平分线，

∴∠CBD＝（∠A＋∠ACB），∠BCD＝（∠A＋∠ABC），

∵∠ABC＋∠ACB＝180°∠A，

∴∠BDC＝180°∠CBD∠BCD

＝180°（∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC）

＝180°（2∠A＋180°∠A）

＝90°∠A，

即∠BDC＝90°x°；

（3）∠BDC＝∠A，

理由：由三角形的外角性质可得，∠ACE＝∠A＋∠ABC，∠DCE＝∠D＋∠DBC，

∵BD、CD分别是∠ABC和△ACB外角∠ACE的平分线，

∴∠DBC＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，

∴（∠A＋∠ABC）＝∠D＋∠ABC，

∴∠BDC＝∠A.