题目内容
如图，⊙O的半径均为R．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD=
R，你认为在以点A，B，C，D为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图④说明理由．
（1）请在图①中画出弦AB，CD，使图①为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图②中画出弦AB，CD，使图②仍为中心对称图形；
（2）如图③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB与CD交于点E，夹角为锐角α．求四边形ACBD的面积（用含m，α的式子表示）；
（3）若线段AB，CD是⊙O的两条弦，且AB=CD=
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（1）答案不唯一，如图①、②
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD=
CD?AM=
CD?AE?sinα，S△BCD=
CD?BN=
CD?BE?sinα，
∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=
CD?AE?sinα+
CD?BE?sinα
=
CD?（AE+BE）sinα=
CD?AB?sinα=
m2?sinα．
（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=
R知S四边形ACBD=
AB?CD?sinα=R2sinα，
②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB=CD=
R，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S四边形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD=S△OCE
∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE=
BE?CH=R?CH．
∴当CH=R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形ABCD是边长为
R的正方形时，S四边形ABCD=R2+R2=2R2为最大值．
（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，
∵S△ACD=
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∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=
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| 2 |
| 1 |
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=
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| 2 |
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（3）存在．分两种情况说明如下：
①当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=
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②当AB与CD不相交时，如图④．
∵AB=CD=
| 2 |
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S四边形ABCD=SRt△AOB+SRt△OCD+S△AOD+S△BOC=R2+S△AOD+S△BOC
延长BO交⊙O于点E，连接EC，
则∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S△AOD=S△OCE
∴S△AOD+S△BOC=S△OCE+S△BOC=S△BCE
过点C作CH⊥BE，垂足为H，
则S△BCE=
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∴当CH=R时，S△BCE取最大值R2
综合①、②可知，当∠1=∠2=90°．
即四边形ABCD是边长为
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