题目内容
（2008•益阳）两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：（1）如图，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）如图，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．
（3）如图，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，请你求出sinα的值．
【答案】分析：（1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；
（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．
解答：
解：（1）在Rt△ABC中，
∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=
，
∴S梯形CDBF=S△ABC=
；
（2）菱形．
∵在直角三角形ABC中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根据平移的性质得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四边形CDBF是菱形；
（3）过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE=
•1•
=
，
又S△ADE=
AE•DH=
，
DH=
=
，
∴在Rt△DHE′中，sinα=
=
．
点评：综合运用直角三角形的性质和平移的性质进行分析计算，考查学生综合运用数学知识的能力．
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；
（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．
解答：
解：（1）在Rt△ABC中，∵∠A=60°，AC=1，
∴BC=
，∴S梯形CDBF=S△ABC=
；（2）菱形．
∵在直角三角形ABC中，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
根据平移的性质得到CF=BD，BF=CD，
∴CF=BD=BF=CD，
∴四边形CDBF是菱形；
（3）过D点作DH⊥AE于H，则S△ADE=
•1•
=
，又S△ADE=
AE•DH=
，DH=
=
，∴在Rt△DHE′中，sinα=
=
．点评：综合运用直角三角形的性质和平移的性质进行分析计算，考查学生综合运用数学知识的能力．
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