题目内容

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，∠ABC=30°，以BC所在直线为x轴，以BC边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求直线AC的解析式；
（2）有一动点P以1cm/s的速度从点B开始沿x轴向其正方向运动，设点P的运动为t秒（单位：s）．①当t为何值时，△ABP是直角三角形；②现有另一点Q与点P同时从点B开始，以1cm/s的速度从点B开始沿折线BAC运动，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．试写出△BPQ的面积S关于t的函数解析式，并写出自变量的取值范围．

解：（1）∵AB=1C=10cm，∠ABC=30°，
∴OA=5cm，BO=CO=5 $\text{[math]}$ cm，
∴点A的坐标为（0，5），点C的坐标为（5 $\text{[math]}$ ，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将点A、点C的坐标代入可得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$
故直线AC的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x+5；
（2）

①当∠APB=90°时，点P与点O重合时，此时BP=5 $\text{[math]}$ ，
即可得t=5 $\text{[math]}$ ；
当∠BAP=90°时，点P位于P₁处，
此时BP₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即可得t= $\text{[math]}$ ．
综上可得当t=5 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，△ABP为直角三角形．
②当点Q位于AB段时，0＜t＜10，

过点Q作QD⊥OB于点D，BQ=t，BP=t，∠ABO=30°，
则QD= $\text{[math]}$ BQ= $\text{[math]}$ t
此时S_△BPQ= $\text{[math]}$ BP×QD= $\text{[math]}$ t× $\text{[math]}$ t= $\text{[math]}$ t²；
当点Q位于AC段时，10≤t＜20，

此时BP=t，CQ=20-t，∠ACO=30°，
则QD= $\text{[math]}$ CQ= $\text{[math]}$ （20-t）=10- $\text{[math]}$ t，
S_△BPQ= $\text{[math]}$ BP×QD= $\text{[math]}$ t×（10- $\text{[math]}$ t）=- $\text{[math]}$ t²+5t．
分析：（1）求出点A及点C的坐标，利用待定系数法可确定直线AC的解析式；
（2）分两段讨论，①点Q在BA段，②点Q在AC段，依次确定BP、QD的长度，继而可确定△BPQ的面积．
点评：本题属于一次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、解直角三角形及三角形的面积，难点在第二问，注意分段讨论，求出△BPQ底边BP上的高，难度一般．